2.2. Дано: а = {2;-4;1}, b = {1;3;-1}. Найти угол между векторами а+Би 2а-Б.

Привет! Сейчас найдем угол между векторами.

Пошаговое решение:

• Сначала найдем координаты векторов \( \vec{a} + \vec{b} \) и \( 2\vec{a} - \vec{b} \):
• \( \vec{a} + \vec{b} = {2+1, -4+3, 1-1} = {3, -1, 0} \).
• \( 2\vec{a} - \vec{b} = {2 \cdot 2 - 1, 2 \cdot (-4) - 3, 2 \cdot 1 - (-1)} = {3, -11, 3} \).
• Теперь вычислим скалярное произведение этих векторов:
• \[ (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b}) = 3 \cdot 3 + (-1) \cdot (-11) + 0 \cdot 3 = 9 + 11 + 0 = 20 \].
• Найдем длины векторов \( \vec{a} + \vec{b} \) и \( 2\vec{a} - \vec{b} \):
• \[ |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 1 + 0} = \sqrt{10} \].
• \[ |2\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-11)^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 121 + 9} = \sqrt{139} \].
• Теперь найдем косинус угла между векторами:
• \[ cos(\varphi) = \frac{(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b})}{|\vec{a} + \vec{b}| \cdot |2\vec{a} - \vec{b}|} = \frac{20}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{139}} = \frac{20}{\sqrt{1390}} \].
• Найдем угол \( \varphi \):
• \[ \varphi = arccos(\frac{20}{\sqrt{1390}}) \approx arccos(0.536) \approx 57.6 \] градусов.

Ответ: Угол между векторами примерно 57.6 градусов.