2.3. Показать, что четырехугольник с вершинами в точках А(-5;3;4), B(-1;-7;5), C(6;−5;-3) и D(2;5;-4) есть квадрат.

Привет! Сейчас докажем, что данный четырехугольник - квадрат.

Пошаговое решение:

• Найдем длины сторон четырехугольника:
• \( AB = \sqrt{(-1 - (-5))^2 + (-7 - 3)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-10)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 100 + 1} = \sqrt{117} \).
• \( BC = \sqrt{(6 - (-1))^2 + (-5 - (-7))^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{7^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{49 + 4 + 64} = \sqrt{117} \).
• \( CD = \sqrt{(2 - 6)^2 + (5 - (-5))^2 + (-4 - (-3))^2} = \sqrt{(-4)^2 + 10^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 100 + 1} = \sqrt{117} \).
• \( DA = \sqrt{(-5 - 2)^2 + (3 - 5)^2 + (4 - (-4))^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-2)^2 + 8^2} = \sqrt{49 + 4 + 64} = \sqrt{117} \).
• Все стороны равны, значит, это ромб.
• Теперь найдем длины диагоналей:
• \( AC = \sqrt{(6 - (-5))^2 + (-5 - 3)^2 + (-3 - 4)^2} = \sqrt{11^2 + (-8)^2 + (-7)^2} = \sqrt{121 + 64 + 49} = \sqrt{234} \).
• \( BD = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (5 - (-7))^2 + (-4 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + 12^2 + (-9)^2} = \sqrt{9 + 144 + 81} = \sqrt{234} \).
• Диагонали равны.
• Теперь нужно убедиться, что диагонали перпендикулярны, то есть их скалярное произведение равно нулю:
• Векторы диагоналей:
• \( \vec{AC} = {6 - (-5), -5 - 3, -3 - 4} = {11, -8, -7} \).
• \( \vec{BD} = {2 - (-1), 5 - (-7), -4 - 5} = {3, 12, -9} \).
• Скалярное произведение: \( \vec{AC} \cdot \vec{BD} = 11 \cdot 3 + (-8) \cdot 12 + (-7) \cdot (-9) = 33 - 96 + 63 = 0 \).
• Диагонали перпендикулярны.

Так как все стороны равны, диагонали равны и перпендикулярны, то четырехугольник ABCD — квадрат.

Ответ: Четырехугольник ABCD — квадрат.