4. Найти вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, если в каждом испытании вероятность появления события А равна 0,3.

Вероятность того, что событие А появится в пяти независимых испытаниях не менее двух раз, можно рассчитать как сумму вероятностей появления события 2, 3, 4 или 5 раз. Также можно рассчитать как 1 - (вероятность появления события 0 раз + вероятность появления события 1 раз)

Формула Бернулли:

$$P(k) = C_n^k * p^k * (1-p)^{(n-k)}$$

где:

• P(k) - вероятность появления события ровно k раз;
• $$C_n^k$$ - число сочетаний из n по k;
• p - вероятность появления события в одном испытании;
• n - количество испытаний.

n = 5, p = 0.3

1. Вероятность того, что событие не появится ни разу (0 раз):

$$P(0) = C_5^0 * (0.3)^0 * (0.7)^5 = 1 * 1 * 0.16807 = 0.16807$$

2. Вероятность того, что событие появится 1 раз:

$$P(1) = C_5^1 * (0.3)^1 * (0.7)^4 = 5 * 0.3 * 0.2401 = 0.36015$$

3. Вероятность того, что событие появится не менее двух раз:

$$P(\text{не менее 2}) = 1 - (P(0) + P(1)) = 1 - (0.16807 + 0.36015) = 1 - 0.52822 = 0.47178$$

Ответ: 0.47178