3. В каждом из 700 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,35. Найти вероятность того, что событие А происходит: точно 180 раз; меньше чем 220 раз.

В данной задаче необходимо воспользоваться теоремой Муавра-Лапласа, так как количество испытаний велико (n=700).

1. Вероятность того, что событие А произойдет точно 180 раз:

Формула:

$$P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \cdot \phi(\frac{k-np}{\sqrt{npq}})$$

где:

• n = 700 (количество испытаний)
• p = 0.35 (вероятность успеха в одном испытании)
• q = 1 - p = 0.65 (вероятность неудачи в одном испытании)
• k = 180 (количество успехов)
• $$\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$$, функция Гаусса

Вычисляем параметры:

$$np = 700 * 0.35 = 245$$ $$npq = 700 * 0.35 * 0.65 = 159.25$$ $$\sqrt{npq} = \sqrt{159.25} \approx 12.62$$

Вычисляем значение аргумента функции Гаусса:

$$x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}} = \frac{180 - 245}{12.62} = \frac{-65}{12.62} \approx -5.15$$

По таблице значений функции Гаусса или с помощью калькулятора находим значение функции для x = -5.15:

$$\phi(-5.15) \approx 0$$

Таким образом, вероятность того, что событие А произойдет точно 180 раз:

$$P_{700}(180) \approx \frac{1}{12.62} * 0 \approx 0$$

2. Вероятность того, что событие А произойдет меньше чем 220 раз:

Формула:

$$P(a \le X \le b) \approx \Phi(\frac{b - np}{\sqrt{npq}}) - \Phi(\frac{a - np}{\sqrt{npq}})$$

где:

• a = 0 (минимальное число раз, когда событие может произойти)
• b = 219 (максимальное число раз, когда событие может произойти)
• $$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}} dt$$, функция Лапласа

Вычисляем значения аргументов функции Лапласа:

$$x_1 = \frac{0 - 245}{12.62} \approx -19.41$$ $$x_2 = \frac{219 - 245}{12.62} \approx -2.06$$

По таблице значений функции Лапласа или с помощью калькулятора находим значения функции:

$$\Phi(-19.41) \approx -0.5$$ $$\Phi(-2.06) \approx -0.4803$$

Таким образом, вероятность того, что событие А произойдет меньше чем 220 раз:

$$P(0 \le X \le 219) \approx -0.4803 - (-0.5) = 0.0197$$

Ответ: Вероятность того, что событие А произойдет точно 180 раз, примерно равна 0; вероятность того, что событие А произойдет меньше чем 220 раз, примерно равна 0.0197.