243. Найти значение производной функции f(x) в точке x₀, если: 1) f(x) = cos x sin x, x₀ = π/6; 2) f(x) = eˣ ln x, x₀ = 1; 3) f(x) = (2cos x)/(sin x), x₀ = π/4; 4) f(x) = x/(1+eˣ), x₀ = 0.

Ответ: Значения производных в указанных точках найдены ниже.

1. 1) f(x) = cos x sin x, x₀ = π/6

   Производная:

   f'(x) = -sin x sin x + cos x cos x = cos²x - sin²x = cos 2x

   Значение в точке x₀ = π/6:

   f'(π/6) = cos(2 * π/6) = cos(π/3) = 1/2

2. 2) f(x) = eˣ ln x, x₀ = 1

   Производная:

   f'(x) = eˣ ln x + eˣ/x

   Значение в точке x₀ = 1:

   f'(1) = e¹ ln 1 + e¹/1 = e * 0 + e = e

3. 3) f(x) = (2cos x)/(sin x), x₀ = π/4

   Производная:

   f'(x) = [(-2sin x)sin x - (2cos x)cos x] / sin²x = -2(sin²x + cos²x) / sin²x = -2 / sin²x

   Значение в точке x₀ = π/4:

   f'(π/4) = -2 / (sin(π/4))² = -2 / (1/√2)² = -2 / (1/2) = -4

4. 4) f(x) = x/(1+eˣ), x₀ = 0

   Производная:

   f'(x) = [(1+eˣ) - x * eˣ] / (1+eˣ)²

   Значение в точке x₀ = 0:

   f'(0) = (1+e⁰ - 0) / (1+e⁰)² = (1+1) / (1+1)² = 2 / 4 = 1/2

Ответ: Значения производных в указанных точках найдены выше.