4. Не выполняя построения, найдите координаты то- чек пересечения окружности х² + у² = 5 x + 3y = 7. и прямой

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ x + 3y = 7 \end{cases}$$

Выразим x из второго уравнения:

$$x = 7 - 3y$$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$$(7 - 3y)^2 + y^2 = 5$$ $$49 - 42y + 9y^2 + y^2 = 5$$ $$10y^2 - 42y + 44 = 0$$

Разделим уравнение на 2:

$$5y^2 - 21y + 22 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = b^2 - 4ac = (-21)^2 - 4(5)(22) = 441 - 440 = 1$$

Найдем корни:

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 + \sqrt{1}}{2(5)} = \frac{21 + 1}{10} = \frac{22}{10} = \frac{11}{5} = 2.2$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{21 - \sqrt{1}}{2(5)} = \frac{21 - 1}{10} = \frac{20}{10} = 2$$

Теперь найдем соответствующие значения x:

Для y = 2.2:

$$x = 7 - 3(2.2) = 7 - 6.6 = 0.4$$

Для y = 2:

$$x = 7 - 3(2) = 7 - 6 = 1$$

Итак, у нас есть два решения:

$$(0.4, 2.2) \text{ и } (1, 2)$$

Ответ: (0.4, 2.2), (1, 2)