Не выполняя построения, найдите координаты точек пересе- чения параболы у = х² + 3 и окружности х² + y² = 17.

Чтобы найти координаты точек пересечения параболы $$y = x^2 + 3$$ и окружности $$x^2 + y^2 = 17$$, подставим выражение для y из уравнения параболы в уравнение окружности:

$$x^2 + (x^2 + 3)^2 = 17$$

$$x^2 + x^4 + 6x^2 + 9 = 17$$

$$x^4 + 7x^2 - 8 = 0$$

Введем новую переменную $$t = x^2$$. Тогда уравнение примет вид:

$$t^2 + 7t - 8 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно t:

$$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9$$ $$t_1 = \frac{-7 + 9}{2} = 1$$ $$t_2 = \frac{-7 - 9}{2} = -8$$

Так как $$t = x^2$$, то $$x^2$$ не может быть отрицательным. Следовательно, $$t = 1$$.

Тогда $$x^2 = 1$$, откуда $$x_1 = 1$$ и $$x_2 = -1$$.

Найдем соответствующие значения y:

Для $$x_1 = 1$$, $$y_1 = 1^2 + 3 = 4$$

Для $$x_2 = -1$$, $$y_2 = (-1)^2 + 3 = 4$$

Таким образом, координаты точек пересечения:

$$(1, 4), (-1, 4)$$

Ответ: (1, 4), (-1, 4)