4 Не выполняя построения, найдите координаты точек пересе-чения параболы у = х²+3 и окружности х² + y² = 17.

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} y = x^2 + 3, \\ x^2 + y^2 = 17. \end{cases} $$

Подставим выражение для y из первого уравнения во второе:

$$ x^2 + (x^2 + 3)^2 = 17 $$

$$ x^2 + (x^4 + 6x^2 + 9) = 17 $$

$$ x^4 + 7x^2 - 8 = 0 $$

Пусть $$ z = x^2 $$. Тогда уравнение принимает вид:

$$ z^2 + 7z - 8 = 0 $$

Решим квадратное уравнение относительно z:

$$ D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 $$

$$ z_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$

$$ z_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 - 9}{2} = \frac{-16}{2} = -8 $$

Так как $$ z = x^2 $$, то z не может быть отрицательным. Поэтому $$ z = 1 $$.

$$ x^2 = 1 $$

$$ x_1 = 1, x_2 = -1 $$

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для $$ x_1 = 1 $$:

$$ y_1 = x_1^2 + 3 = 1^2 + 3 = 1 + 3 = 4 $$

Для $$ x_2 = -1 $$:

$$ y_2 = x_2^2 + 3 = (-1)^2 + 3 = 1 + 3 = 4 $$

Таким образом, координаты точек пересечения:

$$ (1; 4), (-1; 4) $$

Ответ: $$(1; 4), (-1; 4)$$\