Решите систему уравнений \begin{cases} x^2 + xy = 10, \\ y^2 + xy = 15. \end{cases}

Вычтем из второго уравнения первое:

$$y^2 - x^2 = 5$$ $$(y - x)(y + x) = 5$$

Сложим уравнения:

$$x^2 + 2xy + y^2 = 25$$ $$(x + y)^2 = 25$$ $$x + y = \pm 5$$

Подставим полученные значения в уравнение $$(y-x)(y+x) = 5$$:

$$y + x = 5 \rightarrow y - x = 1$$ $$y + x = -5 \rightarrow y - x = -1$$

Решим первую систему:

\begin{cases} y + x = 5, \\ y - x = 1. \end{cases}

Сложим уравнения:

$$2y = 6$$ $$y = 3$$ $$x = 5 - y = 5 - 3 = 2$$

Проверим решение (2, 3):

$$x^2 + xy = 2^2 + 2 \cdot 3 = 4 + 6 = 10$$ $$y^2 + xy = 3^2 + 2 \cdot 3 = 9 + 6 = 15$$

Решим вторую систему:

\begin{cases} y + x = -5, \\ y - x = -1. \end{cases}

Сложим уравнения:

$$2y = -6$$ $$y = -3$$ $$x = -5 - y = -5 - (-3) = -2$$

Проверим решение (-2, -3):

$$x^2 + xy = (-2)^2 + (-2) \cdot (-3) = 4 + 6 = 10$$ $$y^2 + xy = (-3)^2 + (-2) \cdot (-3) = 9 + 6 = 15$$

Итак, получили два решения: (2, 3) и (-2, -3).

Ответ: (2, 3), (-2, -3)