4 Не выполняя построения, найдите координаты точек пересе- чения параболы у = x² + 3 и окружности х² + y² = 17.

Решим систему уравнений:

$$y = x^2 + 3$$

$$x^2 + y^2 = 17$$

Подставим первое уравнение во второе:

$$x^2 + (x^2 + 3)^2 = 17$$

$$x^2 + x^4 + 6x^2 + 9 = 17$$

$$x^4 + 7x^2 - 8 = 0$$

Обозначим $$z = x^2$$, тогда уравнение принимает вид:

$$z^2 + 7z - 8 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно z:

$$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81$$

$$z_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 + 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$$

$$z_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-7 - 9}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$

Так как $$z = x^2$$, то $$x^2$$ не может быть отрицательным, поэтому $$z_2 = -8$$ не подходит.

$$x^2 = 1$$

$$x_1 = 1, x_2 = -1$$

Найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = x_1^2 + 3 = 1^2 + 3 = 4$$

$$y_2 = x_2^2 + 3 = (-1)^2 + 3 = 4$$

Таким образом, координаты точек пересечения: (1, 4) и (-1, 4).

Ответ: (1, 4), (-1, 4).