5 Решите систему уравнений x² + xy = 10, y² + xy = 15.

Решим систему уравнений:

$$x^2 + xy = 10$$

$$y^2 + xy = 15$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$y^2 - x^2 = 5$$

$$(y - x)(y + x) = 5$$

Выразим xy из первого уравнения: $$xy = 10 - x^2$$

Подставим в второе уравнение: $$y^2 + 10 - x^2 = 15$$

$$y^2 - x^2 = 5$$

Разложим на множители: $$(y - x)(y + x) = 5$$

Разделим первое уравнение на второе, получим

$$\frac{x^2 + xy}{y^2 + xy} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$$

$$3(x^2 + xy) = 2(y^2 + xy)$$

$$3x^2 + 3xy = 2y^2 + 2xy$$

$$3x^2 + xy - 2y^2 = 0$$

$$3x^2 + 3xy - 2xy - 2y^2 = 0$$

$$3x(x + y) - 2y(x + y) = 0$$

$$(3x - 2y)(x + y) = 0$$

1) $$3x - 2y = 0$$ или $$3x = 2y$$ или $$x = \frac{2}{3}y$$

Подставим в первое уравнение $$(\frac{2}{3}y)^2 + (\frac{2}{3}y)y = 10$$

$$\frac{4}{9}y^2 + \frac{2}{3}y^2 = 10$$

$$\frac{4}{9}y^2 + \frac{6}{9}y^2 = 10$$

$$\frac{10}{9}y^2 = 10$$

$$y^2 = 9$$

$$y = \pm 3$$

Тогда $$x = \pm 2$$

2) $$x + y = 0$$ или $$x = -y$$

Подставим в первое уравнение $$(-y)^2 + (-y)y = 10$$

$$y^2 - y^2 = 10$$

$$0 = 10$$ - решений нет

Итак, решения: (2, 3) и (-2, -3).

Ответ: (2, 3), (-2, -3).