353 ности с центром О, проведёнными из точки А. Найдите угол ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.

Решение:

1. Отрезки AB и AC являются касательными к окружности с центром O, проведенными из точки A.
2. Середина отрезка AO лежит на окружности, обозначим эту середину точкой D. Следовательно, OD = DA = r, где r - радиус окружности. Значит, AO = 2r.
3. Рассмотрим треугольник ABO, где OB - радиус окружности. Так как касательная AB перпендикулярна радиусу OB, угол ABO прямой, то есть равен 90°.
4. В прямоугольном треугольнике ABO гипотенуза AO = 2r, а катет OB = r. Следовательно, sin(OAB) = OB / AO = r / (2r) = 1/2.
5. Угол OAB, синус которого равен 1/2, равен 30°.
6. Так как AO - биссектриса угла BAC (свойство касательных, проведенных из одной точки), угол BAC = 2 * угол OAB = 2 * 30° = 60°.

Ответ: 60°