О40.10. Решите уравнение: а) $\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{3x^2-3}=0,81^{-2x}$; б) $\left(\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}}\right)^{x^2+4}=20,25^{x+1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: О40.10. Решите уравнение: а) $\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{3x^2-3}=0,81^{-2x}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Представим основания как степени числа $\frac{10}{9}$:

$\frac{\sqrt{10}}{3}=\sqrt{\frac{10}{9}}=\left(\frac{10}{9}\right)^{1/2}$, а $0,81=\left(\frac{9}{10}\right)^2=\left(\frac{10}{9}\right)^{-2}$.

Тогда $\left(\frac{10}{9}\right)^{\frac{3x^2-3}{2}}=\left(\frac{10}{9}\right)^{4x}$.

Приравниваем показатели: $\frac{3x^2-3}{2}=4x$, откуда $3x^2-8x-3=0$.

$D=64+36=100$, поэтому $x=\frac{8\pm10}{6}$.

а) Ответ: $x=3$ или $x=-\frac13$.

б) $\left(\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt3}\right)^4=\frac49$, поэтому левая часть равна $\left(\frac49\right)^{\frac{x^2+4}{4}}$.

Так как $20,25=\frac{81}{4}=\left(\frac49\right)^{-2}$, получаем $\left(\frac49\right)^{\frac{x^2+4}{4}}=\left(\frac49\right)^{-2x-2}$.

$\frac{x^2+4}{4}=-2x-2$, или $x^2+8x+12=0$.

Корни: $x=-2$ и $x=-6$.

б) Ответ: $x=-2$ или $x=-6$.

О40.10. Решите уравнение: а) \(\left(\frac{\sqrt{10}}{3}\right)^{3x^2-3}=0,81^{-2x}\); б) \(\left(\frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{3}}\right)^{x^2+4}=20,25^{x+1}\).