О40.11. Решите уравнение: а) \(\sqrt{625}\cdot\sqrt{5^{14x-9}}=\sqrt[6]{125\cdot5^{6x-12}}\); б) \(\sqrt[3]{0,2}\cdot\sqrt{0,2^{2x-\frac13}}=\sqrt[3]{0,04^{-3x+6}}\).

а) Перепишем все выражения через основание 5:

Левая часть: \(5^2\cdot5^{\frac{14x-9}{2}}=5^{7x-\frac52}\).

Правая часть: \(\sqrt[6]{5^3\cdot5^{6x-12}}=5^{x-\frac32}\).

Следовательно, \(7x-\frac52=x-\frac32\), откуда \(6x=1\).

а) Ответ: \(x=\frac16\).

б) Поскольку \(0,04=(0,2)^2\), получаем:

Левая часть: \((0,2)^{\frac13+\frac{2x-\frac13}{2}}=(0,2)^{x+\frac16}\).

Правая часть: \(((0,2)^2)^{\frac{-3x+6}{3}}=(0,2)^{-2x+4}\).

Приравниваем показатели: \(x+\frac16=-2x+4\).

\(3x=\frac{23}{6}\), поэтому б) Ответ: \(x=\frac{23}{18}\).