О40.13. Решите уравнение: а) \(3^x-3^{x+3}=-78\); б) \(5^{2x-1}-5^{2x-3}=4,8\); в) \(2\cdot\left(\frac17\right)^{3x+7}-7\cdot\left(\frac17\right)^{3x+8}=49\); г) \(\left(\frac13\right)^{5x-1}+\left(\frac13\right)^{5x}=\frac49\).

а) \(3^x-27\cdot3^x=-78\), поэтому \(-26\cdot3^x=-78\), \(3^x=3\). Ответ: \(x=1\).

б) Вынесем \(5^{2x-3}\): \(5^{2x-3}(25-1)=4,8\). Тогда \(24\cdot5^{2x-3}=4,8\), то есть \(5^{2x-3}=\frac15\). Следовательно, \(2x-3=-1\), поэтому \(x=1\).

в) Пусть \(t=\left(\frac17\right)^{3x+7}\). Тогда \(\left(\frac17\right)^{3x+8}=\frac{t}{7}\). Получаем \(2t-7\cdot\frac{t}{7}=49\), то есть \(t=49=\left(\frac17\right)^{-2}\). Поэтому \(3x+7=-2\), откуда \(x=-3\).

г) Пусть \(t=\left(\frac13\right)^{5x-1}\). Тогда \(\left(\frac13\right)^{5x}=\frac{t}{3}\). Получаем \(t+\frac{t}{3}=\frac49\), откуда \(t=\frac13\). Значит, \(5x-1=1\), поэтому \(x=\frac25\).