О40.12. Решите уравнение: а) $27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}}$; б) $2^{\sqrt{13-x^2}}=\sqrt2\cdot\sqrt{32}$; в) $3^x\cdot\left(\frac13\right)^{\sqrt{x+1}}=243$; г) $(0,1^{\sqrt{x+1}})^{\sqrt{x+6}}=\frac1{10^6}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: О40.12. Решите уравнение: а) $27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}}$; б) $2^{\sqrt{13-x^2}}=\sqrt2\cdot\sqrt{32}$; в)…$ Фото задания

О40.12. Решите уравнение: а) $27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}}$; б) $2^{\sqrt{13-x^2}}=\sqrt2\cdot\sqrt{32}$; в) $3^x\cdot\left(\frac13\right)^{\sqrt{x+1}}=243$; г) $(0,1^{\sqrt{x+1}})^{\sqrt{x+6}}=\frac1{10^6}$.

Accepted Answer

а) Область определения: $x\ge1$. Приведём к основанию 3: $3^{3\sqrt{x-1}}=3^{x+1}$. Поэтому $3\sqrt{x-1}=x+1$. Пусть $t=\sqrt{x-1}$, тогда $x=t^2+1$: $3t=t^2+2$, то есть $t^2-3t+2=0$. Отсюда $t=1$ или $t=2$, значит $x=2$ или $x=5$.

б) $\sqrt2\cdot\sqrt{32}=\sqrt{64}=8=2^3$. Поэтому $\sqrt{13-x^2}=3$, откуда $13-x^2=9$, $x^2=4$. Ответ: $x=-2$ или $x=2$.

в) $243=3^5$, поэтому $3^{x-\sqrt{x+1}}=3^5$. Получаем $x-\sqrt{x+1}=5$. Пусть $t=\sqrt{x+1}$, тогда $x=t^2-1$: $t^2-t-6=0$. Допустимо $t=3$, значит $x=8$.

г) $0,1=10^{-1}$, поэтому $10^{-\sqrt{(x+1)(x+6)}}=10^{-6}$. Следовательно, $(x+1)(x+6)=36$.

$x^2+7x-30=0$, откуда $x=3$ или $x=-10$. С учётом области определения $x\ge-1$ остаётся $x=3$.

О40.12. Решите уравнение: а) \(27^{\sqrt{x-1}}=\sqrt{9^{x+1}}\); б) \(2^{\sqrt{13-x^2}}=\sqrt2\cdot\sqrt{32}\); в) \(3^x\cdot\left(\frac13\right)^{\sqrt{x+1}}=243\); г) \((0,1^{\sqrt{x+1}})^{\sqrt{x+6}}=\frac1{10^6}\).

Ответ: