Объем параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды ABCA₁.

Решение:

Объем параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 9.

Треугольная пирамида ABCA₁ имеет в основании треугольник ABC, который является половиной основания параллелограмма ABCD (если ABCD — параллелограмм).

Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту: \(V_{\text{параллелепипеда}} = S_{\text{основания}} \cdot h\).

Объем треугольной пирамиды ABCA₁ вычисляется по формуле: \(V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} S_{\text{основания}} \cdot h\).

В данном случае, основанием пирамиды ABCA₁ является треугольник ABC, площадь которого равна половине площади основания параллелепипеда ABCD. Высота пирамиды ABCA₁ совпадает с высотой параллелепипеда, так как вершина A₁ находится на том же уровне высоты, что и вершина A.

То есть, \(S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} S_{\triangle ABCD}\).

Тогда объем пирамиды ABCA₁:

\[V_{\text{пирамиды ABCA₁}} = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot h = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} S_{\triangle ABCD}) \cdot h = \frac{1}{6} (S_{\triangle ABCD} \cdot h)\]

Мы знаем, что \(S_{\triangle ABCD} \cdot h = V_{\text{параллелепипеда}} = 9\).

Следовательно,

\[V_{\text{пирамиды ABCA₁}} = \frac{1}{6} \cdot 9 = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} = 1.5\]

Ответ: 1.5.