Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые рёбра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение:

Правильная шестиугольная пирамида имеет в основании правильный шестиугольник. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды вычисляется по формуле: \(S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} P \cdot l\), где \(P\) — периметр основания, а \(l\) — апофема (высота боковой грани).

В данном случае, стороны основания равны \(a = 10\), а боковые рёбра равны \(b = 13\).

Периметр основания правильного шестиугольника: \(P = 6a = 6 \cdot 10 = 60\).

Чтобы найти апофему \(l\), рассмотрим одну из боковых граней — равнобедренный треугольник. Высота боковой грани (апофема) делит основание пополам. Однако, нам дано боковое ребро, а не высота пирамиды. Апофема \(l\) является высотой боковой грани. В равнобедренном треугольнике с боковыми сторонами 13 и основанием 10, апофема \(l\) находится по теореме Пифагора: \(l^2 + (\frac{a}{2})^2 = b^2\).

\[l^2 + (\frac{10}{2})^2 = 13^2\]

\[l^2 + 5^2 = 13^2\]

\[l^2 + 25 = 169\]

\[l^2 = 169 - 25 = 144\]

\[l = \sqrt{144} = 12\]

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 12\]

\[S_{\text{бок}} = 30 \cdot 12 = 360\]

Ответ: 360.