6. Образующая конуса равна 4 см, а угол при вершине осевого сечения равен 90 градусов. Найдите объём конуса.

Ответ: \[\frac{16\pi}{3}\] см³

1. Шаг 1: Найдем радиус основания конуса.

   Так как угол при вершине осевого сечения равен 90 градусов, осевое сечение представляет собой прямоугольный треугольник с образующей конуса в качестве гипотенузы. Образующая равна 4 см. Радиус основания конуса является катетом этого прямоугольного треугольника. Поскольку треугольник равнобедренный (два катета равны), радиус равен высоте.

   По теореме Пифагора:

   \[R^2 + R^2 = 4^2\]

   \[2R^2 = 16\]

   \[R^2 = 8\]

   \[R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\] см

2. Шаг 2: Найдем высоту конуса.

   В прямоугольном треугольнике высота \[h\] равна радиусу \[R\]:

   \[h = R = 2\sqrt{2}\] см

3. Шаг 3: Найдем объём конуса.

   Объём конуса вычисляется по формуле:

   \[V = \frac{1}{3} \pi R^2 h\]

   Подставляем значения:

   \[V = \frac{1}{3} \pi (2\sqrt{2})^2 (2\sqrt{2})\]

   \[V = \frac{1}{3} \pi (8) (2\sqrt{2})\]

   \[V = \frac{16\sqrt{2}}{3} \pi\]

Ответ: \(\frac{16\pi}{3}\) см³