10. Решите уравнение: \(\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 4x - 5) = -4\)

Ответ: x = -3 и x = -1

1. Шаг 1: Преобразуем уравнение.

   \[\log_{\frac{1}{2}}(x^2 + 4x - 5) = -4\]

   Представим -4 как логарифм по основанию \(\frac{1}{2}\):

   \[x^2 + 4x - 5 = (\frac{1}{2})^{-4}\]

   \[x^2 + 4x - 5 = 2^4\]

   \[x^2 + 4x - 5 = 16\]

2. Шаг 2: Решим квадратное уравнение.

   \[x^2 + 4x - 5 - 16 = 0\]

   \[x^2 + 4x - 21 = 0\]

   Находим дискриминант:

   \[D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100\]

   Находим корни:

   \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

   \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{100}}{2(1)} = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7\]

3. Шаг 3: Проверим корни.

   Проверим, чтобы аргумент логарифма был больше нуля:

   \[x^2 + 4x - 5 > 0\]

   • \[x = 3\]: \[3^2 + 4(3) - 5 = 9 + 12 - 5 = 16 > 0\] - подходит
   • \[x = -7\]: \[(-7)^2 + 4(-7) - 5 = 49 - 28 - 5 = 16 > 0\] - подходит

Ответ: x = 3 и x = -7