7. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8см., а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45 градусов. Найдите объём пирамиды.

Ответ: \(\frac{128\sqrt{2}}{3}\) см³

1. Шаг 1: Найдем площадь основания.

   Основание - квадрат со стороной 8 см. Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

   \[S = a^2 = 8^2 = 64\] см²

2. Шаг 2: Найдем высоту пирамиды.

   Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45 градусов. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной диагонали основания и боковым ребром. Угол между боковым ребром и половиной диагонали основания равен 45 градусам.

   Половина диагонали основания:

   \[d/2 = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\]

   Так как угол наклона 45 градусов, высота равна половине диагонали основания:

   \[h = 4\sqrt{2}\] см

3. Шаг 3: Найдем объём пирамиды.

   Объём пирамиды вычисляется по формуле:

   \[V = \frac{1}{3} S h\]

   Подставляем значения:

   \[V = \frac{1}{3} (64) (4\sqrt{2})\]

   \[V = \frac{256\sqrt{2}}{3}\] см³

Ответ: \(\frac{256\sqrt{2}}{3}\) см³