8. Решите неравенство: \(\frac{lg x + 1}{4x-1} \le 0\)

Ответ: \((0; 0.25) \cup (0.1; +\infty)\)

1. Шаг 1: Область определения.

   • Аргумент логарифма должен быть больше нуля: \[x > 0\]
   • Знаменатель не должен быть равен нулю: \[4x - 1
     eq 0 \Rightarrow x
     eq \frac{1}{4}\]

2. Шаг 2: Найдем нули числителя и знаменателя.

   • Числитель: \[\lg x + 1 = 0 \Rightarrow \lg x = -1 \Rightarrow x = 10^{-1} = 0.1\]
   • Знаменатель: \[4x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{4} = 0.25\]

3. Шаг 3: Метод интервалов.

   Отметим точки 0, 0.1 и 0.25 на числовой прямой:

   (0)    (0.1)   (0.25)   (+∞)
   ----o-----|-----x-----o----->
         -     +     -     +
   

   Расставим знаки, подставляя значения из каждого интервала в исходное неравенство. Нам нужно, чтобы дробь была меньше или равна нулю.

   • \[x = 0.01\]: \(\frac{\lg 0.01 + 1}{4 \cdot 0.01 - 1} = \frac{-2 + 1}{0.04 - 1} = \frac{-1}{-0.96} > 0\)
   • \[x = 0.2\]: \(\frac{\lg 0.2 + 1}{4 \cdot 0.2 - 1} = \frac{\lg 0.2 + 1}{0.8 - 1} = \frac{\lg 0.2 + 1}{-0.2} < 0\)
   • \[x = 0.5\]: \(\frac{\lg 0.5 + 1}{4 \cdot 0.5 - 1} = \frac{\lg 0.5 + 1}{2 - 1} = \lg 0.5 + 1 > 0\)
   • \[x = 1\]: \(\frac{\lg 1 + 1}{4 \cdot 1 - 1} = \frac{0 + 1}{4 - 1} = \frac{1}{3} > 0\)

   Интервалы, где неравенство выполняется: \((0; 0.25) \cup (0.1; +\infty)\)

Ответ: \((0; 0.25) \cup (0.1; +\infty)\)