3. Образующая конуса составляет с ос- нованием конуса угол 45°. Длина окружности основания равна 6л см. Найдите объем конуса.

Для решения этой задачи нужно сначала найти радиус основания конуса, затем высоту конуса, и наконец, вычислить объем конуса.

Длина окружности основания конуса:

$$C = 2 \pi r$$

Известно, что C = 6π см.

Выразим радиус r:

$$6 \pi = 2 \pi r$$

$$r = \frac{6 \pi}{2 \pi}$$

$$r = 3 \text{ см}$$

Теперь найдем высоту конуса. Угол между образующей и основанием равен 45°. Это означает, что треугольник, образованный высотой, радиусом и образующей, является прямоугольным и равнобедренным (так как один из углов 45°, второй угол 90°, значит, третий тоже 45°). Следовательно, высота равна радиусу:

$$h = r = 3 \text{ см}$$

Теперь, когда известны радиус и высота, можно найти объем конуса:

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

$$V = \frac{1}{3} \pi (3 \text{ см})^2 (3 \text{ см})$$

$$V = \frac{1}{3} \pi (9 \text{ см}^2) (3 \text{ см})$$

$$V = \frac{1}{3} \pi (27 \text{ см}^3)$$

$$V = 9 \pi \text{ см}^3$$

Ответ: \(9 \pi \text{ см}^3\)