5. Осевое сечение конуса - равносторонний треугольник, объем конуса равен 81л см³. Найдите радиус основания конуса.

Если осевое сечение конуса - равносторонний треугольник, то высота конуса равна \(\frac{\sqrt{3}}{2}a\), где a - сторона треугольника, которая также является диаметром основания конуса (a = 2r). Объем конуса равен \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\).

Подставим \(h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2r = \sqrt{3}r\) в формулу объема:

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 (\sqrt{3}r) = \frac{\sqrt{3}}{3} \pi r^3$$

Известно, что объем конуса равен 81π см³:

$$81\pi = \frac{\sqrt{3}}{3} \pi r^3$$

Разделим обе части на π:

$$81 = \frac{\sqrt{3}}{3} r^3$$

Умножим обе части на \(\frac{3}{\sqrt{3}}\) :

$$r^3 = 81 \cdot \frac{3}{\sqrt{3}} = 81 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 81 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{3}}$$

$$r^3 = \frac{243}{\sqrt{3}}$$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$$r^3 = \frac{243 \sqrt{3}}{3} = 81\sqrt{3}$$

$$r^3 = \frac{81 \cdot 3}{\sqrt{3}}$$

$$r^3 = 243 \cdot 3^{\frac{-1}{2}}$$

Выразим r:

$$r = \sqrt[3]{81 \cdot 3^{\frac{-1}{2}}} = \sqrt[3]{243/(\sqrt{3})} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

$$r = 3 \sqrt{3}$$

$$81\pi = \frac{\sqrt{3}}{3} \pi r^3$$

Теперь мы выразим радиус r:

$$r^3 = \frac{81 \pi * 3}{\sqrt{3} \pi}$$

$$r^3 = \frac{243}{\sqrt{3}}$$

$$r^3 = 81 \sqrt{3}$$

$$r = 9 \text{ см}$$

Ответ: 9 см