4. Прямоугольный треугольник АВС, у которого ∠C=90°, АВ=√14 см, АС = √5 см, вращается вокруг прямой ВС. Найдите объем полученного тела вращения.

При вращении прямоугольного треугольника ABC вокруг катета BC получится конус. Катет AC будет радиусом основания конуса, а катет BC - высотой конуса. Чтобы найти объем полученного тела вращения, необходимо найти длину катета BC, а затем воспользоваться формулой для объема конуса.

По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

Известно, что AB = √14 см, AC = √5 см.

Выразим BC:

$$BC^2 = AB^2 - AC^2$$

$$BC^2 = (\sqrt{14})^2 - (\sqrt{5})^2$$

$$BC^2 = 14 - 5$$

$$BC^2 = 9$$

$$BC = \sqrt{9}$$

$$BC = 3 \text{ см}$$

Теперь, когда известны радиус основания (AC = √5 см) и высота (BC = 3 см), можно найти объем конуса:

$$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

$$V = \frac{1}{3} \pi (\sqrt{5} \text{ см})^2 (3 \text{ см})$$

$$V = \frac{1}{3} \pi (5 \text{ см}^2) (3 \text{ см})$$

$$V = \frac{1}{3} \pi (15 \text{ см}^3)$$

$$V = 5 \pi \text{ см}^3$$

Ответ: \(5 \pi \text{ см}^3\)