7. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол, тангенс которого \frac{12}{5}. Найдите объем конуса, если образующая равна 39 см.

1. Обозначим образующую конуса за $$l$$, радиус основания за $$r$$, высоту конуса за $$h$$. Угол между образующей и плоскостью основания обозначим за $$\alpha$$. Дано: $$l = 39$$ см, $$tg(\alpha) = \frac{12}{5}$$.

2. Тангенс угла $$\alpha$$ равен отношению высоты конуса к радиусу основания: $$tg(\alpha) = \frac{h}{r} = \frac{12}{5}$$. Отсюда $$h = \frac{12}{5}r$$.

3. По теореме Пифагора: $$r^2 + h^2 = l^2$$. Подставим $$h = \frac{12}{5}r$$ и $$l = 39$$.

$$r^2 + (\frac{12}{5}r)^2 = 39^2$$

$$r^2 + \frac{144}{25}r^2 = 1521$$

$$\frac{25r^2 + 144r^2}{25} = 1521$$

$$\frac{169r^2}{25} = 1521$$

$$r^2 = \frac{1521 \cdot 25}{169} = 9 \cdot 25 = 225$$

$$r = \sqrt{225} = 15$$ см.

4. Найдем высоту конуса: $$h = \frac{12}{5} \cdot 15 = 12 \cdot 3 = 36$$ см.

5. Объем конуса: $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (15^2) (36) = \frac{1}{3} \pi (225) (36) = \pi (225) (12) = 2700\pi$$ см³.

Ответ: $$2700\pi$$ см³