8. Треугольник со сторонами 8 см, 15 см и 17 см вращается вокруг своей большей стороны. Найдите объем полученной фигуры вращения.

1. Проверим, является ли треугольник прямоугольным. Если выполняется теорема Пифагора, то треугольник прямоугольный.

$$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$$

$$17^2 = 289$$

Так как $$8^2 + 15^2 = 17^2$$, то треугольник прямоугольный, где 17 см - гипотенуза, 8 см и 15 см - катеты.

2. При вращении прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы получается два конуса с общим основанием. Объем полученной фигуры вращения равен сумме объемов этих конусов.

3. Найдем высоту, проведенную к гипотенузе (общий радиус оснований конусов) по формуле: $$h = \frac{ab}{c}$$, где $$a$$ и $$b$$ - катеты, $$c$$ - гипотенуза.

$$h = \frac{8 \cdot 15}{17} = \frac{120}{17}$$ см.

4. Разделим гипотенузу на два отрезка, являющиеся высотами конусов. Пусть $$x$$ и $$y$$ - проекции катетов на гипотенузу, тогда $$x + y = 17$$. Из прямоугольных треугольников получаем:

$$x = \sqrt{8^2 - (\frac{120}{17})^2} = \sqrt{64 - \frac{14400}{289}} = \sqrt{\frac{18496 - 14400}{289}} = \sqrt{\frac{4096}{289}} = \frac{64}{17}$$ см.

$$y = \sqrt{15^2 - (\frac{120}{17})^2} = \sqrt{225 - \frac{14400}{289}} = \sqrt{\frac{65025 - 14400}{289}} = \sqrt{\frac{50625}{289}} = \frac{225}{17}$$ см.

5. Объем первого конуса: $$V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1 = \frac{1}{3} \pi (\frac{120}{17})^2 (\frac{64}{17})$$

Объем второго конуса: $$V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h_2 = \frac{1}{3} \pi (\frac{120}{17})^2 (\frac{225}{17})$$

6. Объем фигуры вращения: $$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3} \pi (\frac{120}{17})^2 (\frac{64}{17}) + \frac{1}{3} \pi (\frac{120}{17})^2 (\frac{225}{17}) = \frac{1}{3} \pi (\frac{120}{17})^2 (\frac{64 + 225}{17}) = \frac{1}{3} \pi (\frac{14400}{289}) (\frac{289}{17}) = \frac{1}{3} \pi \frac{14400}{17} = \frac{4800}{17} \pi$$ см³.

Ответ: $$\frac{4800}{17} \pi$$ см³