9. Равносторонний треугольник, площадь которого 9\sqrt{3} см², вра- щается вокруг одной из своих сторон. Найдите объем получен- ной фигуры вращения.

1. Площадь равностороннего треугольника равна $$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$, где $$a$$ - сторона треугольника. Дано: $$S = 9\sqrt{3}$$ см².

$$9\sqrt{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$

$$a^2 = \frac{9\sqrt{3} \cdot 4}{\sqrt{3}} = 36$$

$$a = \sqrt{36} = 6$$ см.

2. При вращении равностороннего треугольника вокруг одной из его сторон получается два конуса, сложенных основаниями. Объем фигуры вращения равен сумме объемов этих конусов.

3. Найдем высоту равностороннего треугольника (она же радиус основания конусов): $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$ см.

Высота конуса равна половине стороны треугольника: $$h_{конуса} = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ см.

4. Объем одного конуса: $$V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h_{конуса} = \frac{1}{3} \pi (3\sqrt{3})^2 (3) = \frac{1}{3} \pi (9 \cdot 3) (3) = 27\pi$$ см³.

5. Объем фигуры вращения: $$V = 2V_1 = 2 \cdot 27\pi = 54\pi$$ см³.

Ответ: $$54\pi$$ см³