6. Прямоугольный треугольник с катетом 5 см и гипотенузой 7 см вращается вокруг большего катета. Найдите площадь поверхности полученной фигуры вращения.

1. Найдем больший катет по теореме Пифагора:

$$a^2 + b^2 = c^2$$, где $$a$$ и $$b$$ - катеты, $$c$$ - гипотенуза.

Пусть $$a = 5$$ см, $$c = 7$$ см, тогда

$$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{7^2 - 5^2} = \sqrt{49 - 25} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$$ см.

2. При вращении прямоугольного треугольника вокруг большего катета получается конус. Площадь поверхности конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности.

Площадь основания конуса: $$S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$$ см².

Площадь боковой поверхности конуса: $$S_{бок} = \pi r l = \pi \cdot 5 \cdot 7 = 35\pi$$ см², где $$l$$ - образующая конуса, равная гипотенузе треугольника.

3. Площадь поверхности конуса: $$S = S_{осн} + S_{бок} = 25\pi + 35\pi = 60\pi$$ см².

Ответ: $$60\pi$$ см²