10. В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно пер- пендикулярны, а образующая, длина которой 18 см, составляет с плоскостью нижнего основания угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса.

1. Пусть осевое сечение усеченного конуса - трапеция ABCD, где AB и CD - основания, AD и BC - образующие. Диагонали AC и BD перпендикулярны, образующая BC = 18 см, угол между BC и плоскостью основания (угол CBD) равен 30°.

2. Проведем высоту CE к основанию BD. В прямоугольном треугольнике CBE: CE = BC * sin(30°) = 18 * 1/2 = 9 см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой и половинами оснований. Т.к. диагонали перпендикулярны, то трапеция равнобедренная. CE также является медианой. Площадь трапеции ABCD равна произведению полусуммы оснований на высоту. Полусумма оснований равна высоте CE, то есть (AB+CD)/2 = CE = 9 см.

4. Высота усеченного конуса равна CE = 9 см.

5. Найдем разность радиусов оснований. BE = BC * cos(30°) = 18 * (√3/2) = 9√3 см.

6. Площадь боковой поверхности усеченного конуса: $$S_{бок} = \pi (r_1 + r_2) l$$, где $$r_1$$ и $$r_2$$ - радиусы оснований, $$l$$ - образующая.

Поскольку $$\frac{r_1+r_2}{2}=CE = 9$$, а $$l=18$$, то $$r_1+r_2 = 18$$.

$$S_{бок} = \pi \cdot 18 \cdot 18 = 324\pi$$ см².

Ответ: $$324\pi$$ см²