5. Один из катетов прямоугольного треугольника на 2 см больше другого, а его гипотенуза равна 10 см. Найти катеты.

5. Пусть один катет равен x см, тогда другой катет равен x + 2 см. Гипотенуза равна 10 см.

По теореме Пифагора: x² + (x + 2)² = 10²

x² + x² + 4x + 4 = 100

2x² + 4x - 96 = 0

Разделим обе части уравнения на 2: x² + 2x - 48 = 0

Решим квадратное уравнение x² + 2x - 48 = 0.

Вычислим дискриминант D = b² - 4ac = 2² - 4 * 1 * (-48) = 4 + 192 = 196.

Так как D > 0, уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2 * 1} = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{196}}{2 * 1} = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$

Поскольку длина катета не может быть отрицательной, x = 6.

Тогда один катет равен 6 см, а другой катет равен 6 + 2 = 8 см.

Ответ: 6 см и 8 см