Одна из сторон параллелограмма равна его диагонали, а один из углов параллелограмма равен 150°. Найдите площадь параллелограмма, если длина меньшей диагонали равна 24 см.

Пусть сторона, равная большей диагонали, имеет длину \(a\), а другая сторона — \(b\). Для угла \(150^\circ\) квадраты диагоналей равны \(a^2+b^2\pm\sqrt3ab\). Условие, что большая диагональ равна стороне \(a\), даёт \(a^2=a^2+b^2+\sqrt3ab\) либо, с учётом выбора угла между сторонами, равносильное соотношение \(b^2=\sqrt3ab\); значит, \(b=\sqrt3a\). Тогда меньшая диагональ в квадрате равна \(a^2+b^2-\sqrt3ab=3a^2-3a^2=0\), что невозможно для параллелограмма.

Проверим также трактовку напрямую через диагональ, являющуюся стороной: по закону косинусов в треугольнике со сторонами-параллелограмма диагональ удовлетворяет \(d^2=a^2+b^2+2ab\cos150^\circ=a^2+b^2-\sqrt3ab\). Если \(d=a\), получаем \(b=\sqrt3a\); тогда другая диагональ имеет квадрат \(a^2+b^2+\sqrt3ab=6a^2\), а меньшая диагональ равна \(a\). Следовательно, меньшая диагональ 24 см означает \(a=24\), а \(b=24\sqrt3\).

Площадь: \(S=ab\sin150^\circ=24\cdot24\sqrt3\cdot\frac12=288\sqrt3\text{ см}^2\).

Ответ: \(288\sqrt3\text{ см}^2\).