В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) биссектриса угла B делит гипотенузу AC в отношении 5:3, считая от точки A. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника, если AC = 12.

Так как отношение частей гипотенузы, считая от A, равно \(5:3\), а \(AC=12\), имеем \(AD=12\cdot\frac58=7.5\) и \(DC=12\cdot\frac38=4.5\).

По теореме о биссектрисе \(\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}=\frac53\). Пусть \(AB=5x\), \(BC=3x\). По теореме Пифагора: \((5x)^2=(3x)^2+12^2\), откуда \(16x^2=144\), \(x=3\). Значит, гипотенуза \(AB=15\).

Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы: \(R=\frac{15}{2}=7.5\).

Ответ: 7,5.