4. Одна сторона треугольника на 3 см меньше другой, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 7 см.

4. Дано: одна сторона треугольника на 3 см меньше другой, угол между ними равен 60°, третья сторона равна 7 см.

Найти: периметр треугольника.

Решение:

Пусть a = x, b = x + 3, c = 7 см, угол γ = 60°.

По теореме косинусов:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(γ)$$ $$7^2 = x^2 + (x + 3)^2 - 2x(x + 3) \cdot cos(60°)$$ $$49 = x^2 + x^2 + 6x + 9 - 2x(x + 3) \cdot 0,5$$ $$49 = 2x^2 + 6x + 9 - x^2 - 3x$$ $$x^2 + 3x - 40 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169$$ $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-3 + 13}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-3 - 13}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$

Так как сторона треугольника не может быть отрицательной, то x = 5 см.

Тогда a = 5 см, b = 5 + 3 = 8 см, c = 7 см.

Периметр треугольника:

$$P = a + b + c = 5 + 8 + 7 = 20 \text{ см}$$

Ответ: \(P = 20 \text{ см}\)