Одна сторона треугольника на 8 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 28 см.

Решение:

Пусть одна сторона треугольника равна \( x \) см. Тогда другая сторона равна \( x + 8 \) см. Угол между ними \( \gamma = 120^{\circ} \). Третья сторона \( c = 28 \) см.

Используем теорему косинусов для нахождения \( c \):

\[ c^2 = x^2 + (x+8)^2 - 2x(x+8) \cos 120^{\circ} \]\[ 28^2 = x^2 + (x^2 + 16x + 64) - 2x(x+8) \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) \]\[ 784 = x^2 + x^2 + 16x + 64 + x(x+8) \]\[ 784 = 2x^2 + 16x + 64 + x^2 + 8x \]\[ 784 = 3x^2 + 24x + 64 \]\[ 3x^2 + 24x + 64 - 784 = 0 \]\[ 3x^2 + 24x - 720 = 0 \]

Разделим на 3:

\[ x^2 + 8x - 240 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 64 + 960 = 1024 \]\[ \sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32 \]

Найдём \( x \):

\[ x_1 = \frac{-8 + 32}{2} = \frac{24}{2} = 12 \]\[ x_2 = \frac{-8 - 32}{2} = \frac{-40}{2} = -20 \]

Так как длина стороны не может быть отрицательной, \( x = 12 \) см.

Тогда стороны треугольника равны: \( 12 \) см, \( 12 + 8 = 20 \) см и \( 28 \) см.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон:

\[ P = 12 + 20 + 28 = 60 \] см

Ответ: 60 см.