В треугольнике АВС известно, что АВ = 3√2 см, ∠C = 45°, ∠A = 120°. Найдите сторону ВС треугольника и радиус описанной около него окружности.

Решение:

Сначала найдём угол \( B \) в треугольнике АВС: \( \angle B = 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 180^{\circ} - 120^{\circ} - 45^{\circ} = 15^{\circ} \).

Теперь используем теорему синусов, чтобы найти сторону \( BC \) (обозначим её как \( a \)). Сторона \( AB \) (обозначим её как \( c \)) нам известна.

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \]\[ \frac{BC}{\sin 120^{\circ}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin 45^{\circ}} \]\[ BC = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin 120^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3\sqrt{3} \] см

Для нахождения радиуса описанной окружности \( R \) используем теорему синусов:

\[ \frac{c}{\sin C} = 2R \]\[ R = \frac{c}{2 \sin C} = \frac{3\sqrt{2}}{2 \sin 45^{\circ}} = \frac{3\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3 \] см

Ответ: \( BC = 3\sqrt{3} \) см, \( R = 3 \) см.