6 OK=6 ∠MON=120° MK, NK-?

Треугольник MON - равнобедренный, т.к. OM=ON (как радиусы). Следовательно, углы при основании ON равны.

Сумма углов в треугольнике MON равна 180°, следовательно, ∠N = ∠M = (180°-120°):2=30°.

MK и NK - касательные, OK - биссектриса угла MON. Значит, ∠MOK=120°:2=60°.

Рассмотрим треугольник MOK. Он прямоугольный, т.к. радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Катет OM лежит против угла в 30°. Следовательно, гипотенуза OK в 2 раза больше катета OM. OK=6, значит, OM=3.

По теореме Пифагора $$OM^2+MK^2=OK^2$$.

Выразим MK:

$$MK^2=OK^2-OM^2$$.

$$MK=\sqrt{OK^2-OM^2}=\sqrt{6^2-3^2}=\sqrt{36-9}=\sqrt{27}=\sqrt{9 \cdot 3}=3\sqrt{3}$$.

Т.к. касательные, проведенные из одной точки равны, то MK=NK.

Ответ: $$MK=NK=3\sqrt{3}$$