5. Около правильного треугольника описана окружность и в него вписана окружность. Длина меньшей окружности равна \(8\pi\). Найдите площадь кольца и площадь треугольника.

Длина меньшей окружности (вписанной) равна \(2\pi r = 8\pi\), откуда радиус вписанной окружности \(r = 4\). Радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности, то есть \(R = 2r = 8\). Площадь кольца равна разности площадей описанной и вписанной окружностей: \(S_{\text{кольца}} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (8^2 - 4^2) = \pi (64 - 16) = 48\pi\). Сторона правильного треугольника связана с радиусом описанной окружности как \(a = R\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\). Площадь правильного треугольника равна \(S_{\text{треугольника}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(8\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \cdot 3 \sqrt{3}}{4} = 48\sqrt{3}\). Ответ: Площадь кольца \(48\pi\), площадь треугольника \(48\sqrt{3}\)