Окружность пересекает стороны АВ и АС треугольника АВС в точк соответственно и проходит через вершины В и С. Найдите длину отр если АР = 36, а сторона ВС в 1,8 раза меньше стороны АВ.

Пусть окружность пересекает сторону AB в точке P, а сторону AC в точке Q.

Так как окружность проходит через вершины B и C, то четырехугольник BCPQ вписанный.

Угол APQ равен углу ACB (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу).

Угол A общий для треугольников APQ и ABC.

Следовательно, треугольники APQ и ABC подобны по двум углам.

Из подобия следует:

\[ \frac{AP}{AB} = \frac{AQ}{AC} = \frac{PQ}{BC} \]

Дано, что \( AP = 36 \) и \( BC = \frac{AB}{1.8} \), тогда:

\[ \frac{AP}{AB} = \frac{36}{AB} = \frac{PQ}{BC} = \frac{PQ}{\frac{AB}{1.8}} \]\[ \frac{36}{AB} = \frac{1.8PQ}{AB} \]\[ 36 = 1.8PQ \]\[ PQ = \frac{36}{1.8} = 20 \]

Ответ: \( PQ = 20 \)