5. Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите диаметр окружности, если АВ=3, AC=5.

Пусть O - центр окружности, лежащий на стороне AC. Так как окружность касается прямой AB в точке B, то OB перпендикулярна AB. Таким образом, треугольник ABO - прямоугольный, с прямым углом при вершине B. Пусть радиус окружности равен r. Тогда OC = OB = r, так как они являются радиусами окружности. Следовательно, AO = AC - OC = 5 - r. В прямоугольном треугольнике ABO по теореме Пифагора: $AB^2 + OB^2 = AO^2$. Подставим известные значения: $3^2 + r^2 = (5-r)^2$. Получаем: $9 + r^2 = 25 - 10r + r^2$. Тогда $10r = 25 - 9 = 16$, и $r = \frac{16}{10} = 1.6$. Диаметр окружности равен 2r. Следовательно, диаметр равен $2 \cdot 1.6 = 3.2$. Ответ: 3.2