1. Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен $\frac{\sqrt{5}}{2}$. Найдите площадь квадрата ABCD.

Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда $CO = \frac{a}{2}$. Так как точка O - центр окружности, то OA - радиус окружности. Из условия задачи известно, что $OA = \frac{\sqrt{5}}{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOC. По теореме Пифагора, $AC^2 = AO^2 + OC^2$. Подставим известные значения: $a^2 = (\frac{\sqrt{5}}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2$. Получаем: $a^2 = \frac{5}{4} + \frac{a^2}{4}$. Умножим обе части уравнения на 4: $4a^2 = 5 + a^2$. Тогда $3a^2 = 5$, и $a^2 = \frac{5}{3}$. Площадь квадрата равна $a^2$. Следовательно, площадь квадрата ABCD равна $\frac{5}{3}$. Ответ: $\frac{5}{3}$