3. Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите АС, если диаметр окружности равен 4,8, a AB = 1.

3. Дано: окружность с центром O на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Диаметр окружности равен 4,8, значит радиус равен 2,4. AB = 1. Найти AC.

Так как окружность касается прямой AB в точке B, то OB перпендикулярно AB. Значит, треугольник ABO - прямоугольный.

OC = OB = радиус = 2,4

AO = AC - OC, AO = AC - 2,4

По теореме Пифагора в треугольнике ABO:

$$AO^2 = AB^2 + OB^2$$ $$(AC - 2.4)^2 = 1^2 + (2.4)^2$$ $$AC^2 - 4.8AC + 5.76 = 1 + 5.76$$ $$AC^2 - 4.8AC - 1 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$AC = \frac{-(-4.8) \pm \sqrt{(-4.8)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$$ $$AC = \frac{4.8 \pm \sqrt{23.04 + 4}}{2}$$ $$AC = \frac{4.8 \pm \sqrt{27.04}}{2}$$ $$AC = \frac{4.8 \pm 5.2}{2}$$

AC1 = (4.8 + 5.2) / 2 = 10 / 2 = 5

AC2 = (4.8 - 5.2) / 2 = -0.4 / 2 = -0.2 (не подходит, т.к. длина не может быть отрицательной)

AC = 5

Ответ: AC = 5