Окружность с центром О и радиусом 16 см описана около треугольника АВС так, что \(\angle OAB = 30^\circ\), \(\angle OCB = 45^\circ\). Найдите стороны АВ и ВС треугольника.

Рассмотрим треугольник OAB. Он равнобедренный, так как OA = OB = радиус окружности. Значит, \(\angle OBA = \angle OAB = 30^\circ\). Тогда угол \(\angle AOB = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ\).

Рассмотрим треугольник OCB. Он тоже равнобедренный, так как OC = OB = радиус окружности. Значит, \(\angle OBC = \angle OCB = 45^\circ\). Тогда угол \(\angle BOC = 180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ\).

Применим теорему синусов к треугольнику OAB:

$$\frac{AB}{\sin \angle AOB} = \frac{OA}{\sin \angle OBA}$$ $$\frac{AB}{\sin 120^\circ} = \frac{16}{\sin 30^\circ}$$ $$AB = \frac{16 * \sin 120^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{16 * (\sqrt{3}/2)}{1/2} = 16\sqrt{3} \text{ см}$$

Применим теорему синусов к треугольнику OCB:

$$\frac{BC}{\sin \angle BOC} = \frac{OC}{\sin \angle OBC}$$ $$\frac{BC}{\sin 90^\circ} = \frac{16}{\sin 45^\circ}$$ $$BC = \frac{16 * \sin 90^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{16 * 1}{\sqrt{2}/2} = \frac{32}{\sqrt{2}} = 16\sqrt{2} \text{ см}$$ Ответ: AB = 16$$\sqrt{3}$$ см, BC = 16$$\sqrt{2}$$ см