Рис. 1 Дано: \(\cup AB: \cup BC = 11: 12\). Найти: \(\angle BCA, \angle BAC\)

Пусть мера дуги AB равна 11x, а мера дуги BC равна 12x. Вся окружность равна 360 градусам. Угол AOC – центральный и равен 130 градусам (из рисунка). Значит, дуга AC равна 130 градусам.

Сумма дуг AB, BC и AC составляет полную окружность:

$$11x + 12x + 130 = 360$$ $$23x = 360 - 130$$ $$23x = 230$$ $$x = 10$$

Теперь найдем меры дуг AB и BC:

$$ \cup AB = 11 * 10 = 110^\circ $$ $$ \cup BC = 12 * 10 = 120^\circ $$

Угол BCA - вписанный и опирается на дугу AB, следовательно:

$$ \angle BCA = \frac{1}{2} \cup AB = \frac{1}{2} * 110 = 55^\circ $$

Угол BAC - вписанный и опирается на дугу BC, следовательно:

$$ \angle BAC = \frac{1}{2} \cup BC = \frac{1}{2} * 120 = 60^\circ $$ Ответ: \(\angle BCA = 55^\circ\), \(\angle BAC = 60^\circ\)