16 Окружность с центром в точке О касается луча СА (см. рисунок). Найдите градусную ме ру угла АСО, если градусная мера большей из дуг окружности, заключённых внутри угла АСО, равна 100%. Ответ:

Окружность с центром в точке O касается луча CA. Большая дуга, заключенная внутри угла ACO, равна 100°. Необходимо найти градусную меру угла ACO.

1) Рассмотрим треугольник \(\triangle AOC\). Так как AO = OC (радиусы), то \(\triangle AOC\) – равнобедренный, следовательно, \(\angle OAC = \angle OCA\).

2) \(\angle AOC\) является центральным углом, опирающимся на дугу AC. По условию, большая дуга AC равна 100°, значит меньшая дуга равна 360° - 100° = 260°. Следовательно, \(\angle AOC = 260^\circ\).

3) Сумма углов в треугольнике равна 180°. Тогда, \(\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^\circ\).

4) Выразим сумму углов OAC и OCA:

\(\angle OAC + \angle OCA = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 260^\circ = -80^\circ\).

Такое решение невозможно, следовательно, \(\angle AOC = 100^\circ\)

5) \(\angle OAC + \angle OCA = 180^\circ - \angle AOC = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\).

6) Так как \(\angle OAC = \angle OCA\), то \(\angle OCA = \frac{80^\circ}{2} = 40^\circ\).

7) \(\angle ACO = \angle OCA = 40^\circ\).

Ответ: 40