16. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и \(\angle ABC = 123^\circ\). Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.

Так как окружность описана около треугольника ABC, то углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Угол $$\angle ABC$$ является вписанным, а угол $$\angle AOC$$ - центральным углом, опирающимся на ту же дугу, что и $$\angle ABC$$. Тогда $$\angle AOC = 2\angle ABC$$. Однако, так как AB=BC, то треугольник ABC равнобедренный. Тогда угол $$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 123^\circ}{2} = \frac{57^\circ}{2} = 28.5^\circ$$. Так как O - центр описанной окружности, то $$\angle BOC = 2 \angle BAC = 2 \cdot 28.5 = 57^\circ$$. Или, так как $$\angle BOC$$ и $$\angle BAC$$ опираются на одну и ту же дугу BC, то $$\angle BOC = 2\angle BAC = 2 (\frac{180^\circ - 123^\circ}{2}) = 180^\circ - 123^\circ = 57^\circ$$. Так как $$\angle BOC$$ - центральный, а \(\angle BAC\) вписанный, опираются на одну дугу. $$\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC$$, тогда$$\angle BOC = 2 \angle BAC$$. \(\angle BAC = \frac{180 - 123}{2} = 28.5\). Тогда \(\angle BOC = 2 * 28.5 = 57\). Следовательно, $$\angle BOC$$ - центральный, а $$\angle BAC$$ - вписанный. Учитывая, что $$\angle ABC = 123^\circ$$, найдем $$\angle BAC = (180 - 123)/2 = 28.5^\circ$$. Тогда $$\angle BOC = 2* \angle BAC = 2*28.5^\circ = 57^\circ$$. Таким образом, ответ: 57.