25. Окружности радиусов 42 и 84 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и Д - на второй. При этом АС и BD - общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и CD.

Пусть $$r_1 = 42$$ и $$r_2 = 84$$ - радиусы окружностей с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ соответственно. $$O_1O_2 = r_1 + r_2 = 42 + 84 = 126$$.

Пусть $$h$$ - расстояние между прямыми АВ и CD. Проведем общую касательную к обеим окружностям $$O_1K$$ и $$O_2L$$ перпендикулярно $$O_2L$$. Тогда $$O_1K \parallel O_2L$$. $$KL = O_1O_2 = 126$$.

$$O_2L - O_1K = 84 - 42 = 42$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$O_1O_2M$$, где $$O_2M = 126$$, $$O_1M = 42$$.

$$O_1O_2^2 = O_1M^2 + O_2M^2$$

$$O_2M = \sqrt{126^2 - 42^2} = \sqrt{(126 - 42)(126 + 42)} = \sqrt{84 \cdot 168} = \sqrt{14112} = 84 \sqrt{2}$$.

$$h = O_2M = 84 \sqrt{2}$$.

Следовательно расстояние между прямыми АВ и CD равно $$84 \sqrt{2}$$.

Ответ: $$84 \sqrt{2}$$