Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку №. Докажите, что сумма площадей треугольников ABN и CND равна сумме площадей треугольников BNC и AND.

Пусть ABCD - параллелограмм, N - произвольная точка внутри него. Пусть h1 - высота от точки N до стороны AD, h2 - высота от точки N до стороны BC. Пусть h3 - высота от точки N до стороны AB, h4 - высота от точки N до стороны CD. Пусть AD = BC = a, AB = CD = b. Тогда площадь треугольника AND равна $$\frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_1 = \frac{1}{2} a h_1$$. Площадь треугольника BNC равна $$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_2 = \frac{1}{2} a h_2$$. Площадь треугольника ABN равна $$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_3 = \frac{1}{2} b h_3$$. Площадь треугольника CND равна $$\frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_4 = \frac{1}{2} b h_4$$. Сумма площадей треугольников ABN и CND равна $$\frac{1}{2} b h_3 + \frac{1}{2} b h_4 = \frac{1}{2} b (h_3 + h_4)$$. Сумма площадей треугольников BNC и AND равна $$\frac{1}{2} a h_1 + \frac{1}{2} a h_2 = \frac{1}{2} a (h_1 + h_2)$$. Так как h3 + h4 = высота параллелограмма = h, и h1 + h2 = высота параллелограмма = h, то h3 + h4 = h1 + h2 = h. Так как ABCD - параллелограмм, то $$h_1 + h_2 = h$$. Тогда $$\frac{S_{ABN} + S_{CND} = \frac{1}{2} AB \cdot h + \frac{1}{2} CD \cdot h}{\cdot} = \frac{1}{2} h (AB + CD) = \frac{1}{2} 2b h = bh = S_{ABCD}/2$$. А $$\frac{S_{AND} + S_{BNC} = \frac{1}{2} AD \cdot h + \frac{1}{2} BC \cdot h}{\cdot} = \frac{1}{2} h (AD + BC) = \frac{1}{2} 2a h = ah = S_{ABCD}/2$$. Следовательно, $$\frac{S_{AND} + S_{BNC}}{\cdot} = S_{ABN} + S_{CND}$$. Что и требовалось доказать.