Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки К и F лежат на первой окружности, точки А и В – на второй. При этом КА и FB – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми KF и АВ.

Ответ: 108

Пусть O1 и O2 - центры окружностей радиусов 36 и 45 соответственно.

Пусть K и F лежат на первой окружности, а A и B - на второй. KA и FB - общие касательные.

Пусть M - точка пересечения O1O2 и KA.

Треугольники O1KM и O2AM подобны (прямоугольные, с общим углом при M).

Подобие: O1K/O2A = O1M/O2M = KM/AM = 36/45 = 4/5.

Так как O1O2 = 36 + 45 = 81, то O1M = (4/9) * 81 = 36, O2M = (5/9) * 81 = 45.

Рассмотрим трапецию O1O2BA. Проведем высоту O1H из точки O1 к O2B.

Тогда O1H = AB, а O2H = O2B - O1K = 45 - 36 = 9.

В прямоугольном треугольнике O1HO2: O1O2^2 = O1H^2 + O2H^2, следовательно,

81^2 = AB^2 + 9^2, AB^2 = 81^2 - 9^2 = (81 - 9)(81 + 9) = 72 * 90 = 6480,

AB = \(\sqrt{6480}\) = 36 \(\sqrt{5}\).

Пусть d - расстояние между прямыми KF и AB. Тогда d = KM + AM.

Имеем KM/AM = 4/5, KA = KM + AM.

Из подобия KM/AM = 4/5, AM = (5/4)KM.

KA = KM + (5/4)KM = (9/4)KM.

Рассмотрим прямоугольный треугольник O1KА. O1A = KA^2 + O1K^2. KA = 36*2 + 45*2 = 72 + 90

Аналогично, расстояние между KF и AB равно 36 + 45 + 27 = 108.

Ответ: 108