Окружности с центрами в точках 1 и не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении т: п. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как т: п.

Пусть даны две окружности с центрами в точках O1 и O2 и радиусами R1 и R2 соответственно.

Пусть внутренняя общая касательная к этим окружностям касается их в точках A и B соответственно и пересекает отрезок O1O2 в точке C.

Тогда по условию O1C : CO2 = m : n.

Нужно доказать, что 2R1 : 2R2 = m : n, то есть R1 : R2 = m : n.

Так как касательная перпендикулярна радиусу в точке касания, то O1A перпендикулярна AB и O2B перпендикулярна AB.

То есть углы O1AC и O2BC прямые.

Тогда треугольники O1AC и O2BC подобны по двум углам (угол O1CA = углу O2CB как вертикальные).

Из подобия треугольников следует, что:

$$\frac{O_1C}{CO_2} = \frac{O_1A}{O_2B}$$.

Так как O1C : CO2 = m : n, то $$\frac{O_1A}{O_2B} = \frac{m}{n}$$.

Но O1A = R1 и O2B = R2, значит $$\frac{R_1}{R_2} = \frac{m}{n}$$, то есть R1 : R2 = m : n.

Следовательно, 2R1 : 2R2 = m : n, то есть диаметры этих окружностей относятся как m : n.

Ч.т.д.

Ответ: доказано